计算机组成

5 乘法器和除法器

5.6 除法器的实现

现在，我们已经将除法的运算过程用适合硬件实现的方法描述出来了，那么就可以着手开始设计真正的硬件的除法器了。那么在这一节，我们将首先整理出一个除法器的工作流程，然后通过一个事例来分析除法器的结构和它的工作原理。

我们首先来看一个32位除法器的工作流程。

首先进行初始化工作，然后进入正式的工作步骤。我们要注意，余数和被除数是共享一个寄存器的。所以第1步，是用余数寄存器的内容减去除数寄存器中的内容，并将结果保存到余数寄存器当中；第2步，是检查余数寄存器的内容，如果当前的余数大于等于0，那说明这次减法操作是正确的；那下一步执行2a这个分支，将商寄存器中的内容左移一位，并将空出的最右边这位设为1；然后执行第3步，那就是将除数寄存器右移一位，但如果在第2步检查余数时，发现余数寄存器的内容小于0，那这就意味着刚才这次减法操作是不应该进行的。所以，必须回退，消除这个影响，那么2b的这个分支就是回退第1步的减法操作，然后还会将商寄存器左移一位，但是空出来的最右位是设为0。这一步做完之后，同样也会进入第3步，完成第3步之后，第4步是判断当前是否为最后一轮循环。这是一个32位的除法器，也就是除数是32位的，那么一共要进行33轮循环。如果不到33轮循环，那就回到第1步继续执行；如果已经是33轮循环，说明运算已经完成，最终结果存放在当前的商寄存器和余数寄存器当中。

这就是32位除法器的工作流程。

为了简便起见，我们还是用一个4位的除法器作为例子来进行说明。一个4位的除法器需要一个8位的余数寄存器；需要一个8位的除数寄存器且带右移的功能；还需要一个4位的商寄存器且带左移的功能；最后需要一个8位的ALU，支持加法和减法运算。这里我们要注意的是，在乘法器当中，只需要一个加法器；而在除法器当中，需要支持加法和减法两种运算。因为正常的流程中是需要减法运算，而刚才我们在讲解工作流程时提到，有时候需要回退已经完成的减法操作，这就需要用到加法。那么这个ALU的输入，就来自除数寄存器和余数寄存器，它的输出还连到了余数寄存器。那除了这些部件，我们同样还需要控制逻辑，控制这几个寄存器和ALU的工作。

现在我们就来看一看这个除法器的工作过程。我们注意右下角，我们还是结合这个7除以2的例子来进行说明。

首先是初始化工作，我们将8位的被除数放入余数寄存器，然后将4位的除数放入除数寄存器的高4位，并将除数寄存器的低4位补上0，最后是将4位的商寄存器置为0。这就完成了初始化的工作。

现在正式进入工作的流程。第1步，是执行减法运算，将当前余数寄存器的内容减去除数寄存器的内容。我们注意到，除数寄存器当中，现在保存的是00100000；而余数寄存器当中保存的是00000111。那么控制逻辑会向ALU发出执行减法的控制信号，ALU将输入的两个数进行减法运算，得到结果是11100111。这个时候控制逻辑还会向余数寄存器发出要写入的控制信号，在下一个时钟上升沿到来的时候，ALU的输出就会保存到余数寄存器当中。

现在余数寄存器已经更新了，然后执行第2步，就是检查余数寄存器。如果余数寄存器的内容大于等于零，就执行2a这个分支的操作；如果余数寄存器的内容小于零，则执行2b这个分支的操作。那怎么检查是大于等于零，还是小于零呢？其实只要看余数寄存器的最高位就可以了。根据补码的表示，我们知道，如果最高位为1，则代表这个数小于零。

那现在我们就要执行2b这个分支。因为余数寄存器的内容小于零，意味着我们不应该做刚才那次减法。所以，首先需要回退第1步的操作，但是硬件的操作已经完成，刚才的减法结果也保存到了余数寄存器当中，而余数寄存器之前的值，我们现在已经不知道了。怎么回退呢？所以，实际上没有真正的往回退的方法，只是还好我们知道如何找回跟刚才一样的那个数。因为刚才执行的是一次减法，所以现在只要把余数寄存器的内容加上除数寄存器的内容，就可以得到刚才在余数寄存器当中的内容了。所以，现在在ALU的输入端，两个输入信号早已准备好，而控制逻辑会给出执行加法的控制信号，很快ALU会完成加法运算并得到运算结果。当然，控制逻辑也会给出让余数寄存器写入ALU的输出这个控制信号。然后，等到下一个时钟上升沿到来的时候，余数寄存器就把ALU的输出保存进去了。

现在余数寄存器已经更新了，这个值就是我们刚才执行第1步之前的余数寄存器的内容，也就是十进制的7。现在我们已经完成了回退的工作，那我们还要记录这一步所对应的商，也就是将商寄存器要左移一位，并将新的最右位设为0。

我们注意右边的这个商寄存器，现在这一步（商寄存器左移一位，并将新的最右位设为0）的工作就已经完成了。第3步是将除数寄存器的内容右移一位，为下一次的减法操作做好准备。

我们注意除数寄存器，除数寄存器右移之后，最左边会补入一个0，而最右边移出的数就直接丢掉了。我们再来看第4步，第4步是检查这是不是最后一轮循环，因为这是一个4位的除法器。所以，我们要检查的是当前是不是第5轮循环。那经过检查，现在不是第5轮循环，所以我们还需要继续除法器的工作。

现在我们进入第二轮。第二轮的第1步和第一轮的第1步实际上是一样的，也是执行减法操作，余数寄存器减去除数寄存器。在控制逻辑的控制下，ALU很快就可以得到减法的结果。我们现在就可以注意一下这个减法运算的结果最高位是1，所以等一会儿我们还得回退这个操作。后面要做的事情就和我们刚才第一轮所解释过的一样，我们就不再一步一步详细描述了。

那我们用一个表，来总体说明从第二轮到第四轮发生的事情。

刚才我们看到的是第二轮当中的第1步，将余数减除数得到的结果会保存到余数寄存器当中。这个表中红颜色的部分代表在这一步当中发生改变的数值。在这里我们会注意到，第二轮余数寄存器当中的最高位为1，说明这是一个小于0的数。所以，在下一步会进行回退的操作，也就是将余数加上除数，再放回到余数寄存器当中，同时将商左移，最右边补0。然后，将除数寄存器右移，这就完成了第二轮的操作。

然后是第三轮，我们同时也注意到第三轮进行的减法得到的结果最高位还是1。所以，还要执行回退，然后将商的最右边移入一个0。再将除数进行右移。

然后是第四轮，第四轮执行完了减法，我们注意到最高位是0，那这就表明这次减法运算不用回退。所以，在下一轮余数寄存器并没有发生变化，而商左移之后，最右边补入了一个1。然后，再将除数进行右移。

这样就完成了四轮的工作。

现在我们回到这个结构图来看第五轮的第1步。这时候继续执行减法操作，除数寄存器的输出，余数寄存器的输出，控制逻辑发出减法的控制信号，ALU得出运算的结果，运算的结果是1（0000 0001）。在下一个时钟沿到来的时候，它会被存到余数寄存器当中。

我们注意，余数寄存器现在发生了改变。然后是第五轮的第2步，检查余数寄存器的最高位，发现最高位为0，说明这是一个大于等于0的数，进入2a这个分支进行操作。

2a这个分支，就是将商寄存器左移一位，并将新的最右位设为1。

我们注意商寄存器，左移后最右边设了1。然后是第五轮的第3步，将除数寄存器右移1位。我们从一个旁观者的角度可以看到，因为这已经是最后一轮了。所以，除数寄存器的这一次右移是没有必要的，但是作为硬件来说，它现在并不知道这是最后一轮。所以，它仍然在为下一轮进行准备工作。

直到在第4步，在进行检查是否为第五轮的时候，硬件的控制逻辑才会知道，这已经是最后一轮循环，这个除法运算已经完成了。现在除法运算的结果就已经在余数寄存器和商寄存器当中。

注意我们要做的是这个例子：7除以2。商为 3，也就是现在的0011；而余数为1。这和我们用纸笔运算的结果是一样的。

这就是一个四位的除法器的结构和工作的流程。

与之类似，我们就可以得到一个32位的除法器。

那这个32位的除法器当中，有一个64位的余数寄存器；一个64位的除数寄存器，带右移功能；一个32位的商寄存器，带左移的功能；一个64位的ALU，支持加法和减法运算。

那这样一个除法器，用刚才同样的流程就可以完成32位除法的运算。

现在这么复杂的除法都已经被我们解决了，我们已经有了一个可以正常工作的除法器。这可真是一个了不起的成果！当然，这当中还有一些细节的问题我们没有谈到。比如说，当一个正数和一个负数相除的时候。那商应该是正数还是负数？余数又应该是正数还是负数呢？类似这样的小问题，就留给大家回去自己思考了。